Question

已知函数f（x）=ax3+x2-ax（a∈R，且a≠0）．如果存在实数a∈（-∞，-1]，使函数g（x）=f（x）+f′（x）

已知函数f（x）=ax3+x2-ax（a∈R，且a≠0）．如果存在实数a∈（-∞，-1]，使函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[-1，b]（b＞-1）在x=-1处取得最小值，则实数b的最大值为______．

Answer 1

由题意，g（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，
据题知，h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，
即：（x+1）（ax²+（2a+1）x+（1-3a））≥0…①
当x=-1时，不等式①成立；
当-1＜x≤b时，不等式①可化为ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0…②
令?（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），由a∈（-∞，-1]知其图象是开口向下的抛物线，
故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得．
又?（-1）=-4a＞0，故不等式②成立的充要条件是?（b）≥0，
整理得：

b2+2b?3

b+1

≤-

1

a

在a∈（-∞，-1]上有解，
∴

b2+2b?3

b+1

≤1，
∴-1＜b≤

17 ?1

2

，
∴实数b的最大值为

17 ?1

2

，
故答案为：

17 ?1

2

．