Question

已知菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，如图所示，并且CA：BD=1：2，若AB=3，求菱形ABCD的面积

已知菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，如图所示，并且CA：BD=1：2，若AB=3，求菱形ABCD的面积．

Answer 1

菱形两对角线将其分割为四个全等的直角三角形．
设AO=x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，
又∵AC：BD=1：2，
∴AO：BO=1：2，BO=2x，
在Rt△ABO中，
∵AB²=BO²+AO²，
∴AB²=（2x）²+x²=3²．
解得：x=

3 5

5

，
∴AO=

3 5

5

，BO=

6 5

5

，
∴AC=

6 5

5

，BD=

12 5

5

，
∴菱形的面积为：

1

2

×

6 5

5

×

12 5

5

=

36

5

．
故菱形ABCD的面积

36

5

．

Answer 2

设CA=2x，则BD=4x,对角线的一半与边构成直角三角形。
由勾股定理得：x^2+(2x)^2=3^2
x^2=9/5
面积是：1/2*AC*BD=1/2*2x*4x=4x^2=4*(9/5)=36/5