Question

已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）和B（x2，0）两点，xl和x2是方程x2+2x-3=0的两个根（

已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）和B（x2，0）两点，xl和x2是方程x2+2x-3=0的两个根（x1＜x2），而且抛物线与y轴交于C点，∠ACB不小于90°（1）求点A、点B的坐标和抛物线的对称轴；（2）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；（3）求系数a的取值范围．

Answer 1

（1）解方程x²+2x-3=0，得x=-3，x=1
∴A（-3，0），B（1，0）；
∴对称轴为x=-1

（2）把x=0代入抛物线，得y=c．
∴点C的坐标为（0，c）
∵A、B在抛物线上
∴

9a?3b+c＝0 a+b+c＝0

消去b，得c=-3a
∴C（0，-3a）

（3）∵抛物线开口向上
∴a＞0
∴OC=|-3a|=3a
又∵∠ACB不小于90°
∴∠ACB≥90°
若∠ACB=90°，△BOC∽△COA
∴OC²=OA?OB=3×1=3
∴OC=

3

∴3a=

3

，a=

3

3

．
∴a的取值范围是0＜a≤

3

3

．