Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=π2+A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=π2+A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．

Answer 1

解答：解（1）∵B＝

π

2

+A，
∴cosB=cos（

π

2

+A）=-sinA，
又a=3，b=4，所以由正弦定理得 

3

sinA

＝

4

sinB

，
所以

3

?cosB

=

4

sinB

，
所以-3sinB=4cosB，两边平方得9sin²B=16cos²B，
又sin²B+cos²B=1，
所以cosB＝±

3

5

，而B＞

π

2

，
所以cosB＝?

3

5

．
（2）∵cosB＝?

3

5

，∴sinB＝

4

5

，
∵B＝

π

2

+A，∴2A=2B-π，
∴sin2A=sin（2B-π）=-sin2B
=?2sinBcosB＝?2×

4

5

×(?

3

5

)＝

24

25

     
又A+B+C=π，∴C＝

3π

2

?2B，
∴sinC=-cos2B=1-2cos²B=

7

25

．
∴sin2A+sinC＝

24

25

+

7

25

＝

31

25

．