Question

（2014?增城市一模）如图，矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将它折叠，使点A与C重合，折痕EF交AD于E，交BC于F

（2014?增城市一模）如图，矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将它折叠，使点A与C重合，折痕EF交AD于E，交BC于F，交AC于O，连结AF、CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）过E作EP⊥AD交AC于P，求证：AE2=AO?AP；（3）若AE=8，△ABF的面积为9，求AB+BF的值．

Answer 1

（1）证明：当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC∠AOE=∠COF=90°
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴OE=OF
∴四边形AFCE是菱形．  

（2）证明：∵EP⊥AD
∴∠AEP=90°，
∵∠AOE=90°，
∴∠AEP=∠AOE
∵∠EAO=∠EAP
∴△AOE∽△AEP
∴

AE

AP

＝

AO

AE

∴AE²=AO?AP

（3）解：∵四边形AFCE是菱形
∴AF=AE=8
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²
∴AB²+BF²=8²
∴（AB+BF）²-2AB?BF=64①
∵△ABF的面积为9
∴

1

2

AB?BF＝9
∴AB?BF=18②
由①、②得：（AB+BF）²=100
∵AB+BF＞0
∴AB+BF=10．