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解：
f(x)=1/(1+2x)
f'(x)=-2/(1+2x)²
假设当n=k(k∈N*)时，f(k)(x)=(-1)(-2)...(-k)·(2^k)/(1+2x)^(k+1)
则
f(k+1)(x)=(-1)(-2)...(-k)·(2^k)·[-(k+1)]·2/(1+2x)^(k+2)
=(-1)(-2)...[-(k+1)]·2^(k+1)/(1+2x)^(k+1+1)
k为任意正整数，因此对于任意正整数n
f(n)(x)=(-1)(-2)...(-n)·2ⁿ/(1+2x)ⁿ⁺¹
令n=100，x=0，得：
f(100)(0)=(-1)(-2)...(-100)·2¹⁰⁰/(1+2·0)¹⁰⁰⁺¹=100!·2¹⁰⁰
f(x)=1/(1+2x)
f'(x)=-2/(1+2x)²
假设当n=k(k∈N*)时，f(k)(x)=(-1)(-2)...(-k)·(2^k)/(1+2x)^(k+1)
则
f(k+1)(x)=(-1)(-2)...(-k)·(2^k)·[-(k+1)]·2/(1+2x)^(k+2)
=(-1)(-2)...[-(k+1)]·2^(k+1)/(1+2x)^(k+1+1)
k为任意正整数，因此对于任意正整数n
f(n)(x)=(-1)(-2)...(-n)·2ⁿ/(1+2x)ⁿ⁺¹
令n=100，x=0，得：
f(100)(0)=(-1)(-2)...(-100)·2¹⁰⁰/(1+2·0)¹⁰⁰⁺¹=100!·2¹⁰⁰
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