Question

y'=y/x+x/y为什么方程？其通解为多少？满足y(1)=2的特解为多少？ 求 详细解答过程

Answer 1

解：
sin(xy)+ln(y-x)=x
两边同时对x求导得：
cos(xy)·(y+xy
')+(y
'-1)/(y-x)=1
①
当x=0时，sin0-lny=0，解得y=1
把x=0，y=1代入①得：
cos0·(1+0)+(y
'-1)/(1-0)=1
解得y
'=1
故dy/dx|(x=0)=1
答案：1

Answer 2

一阶齐次微分方程，解法固定，令y/x=u，则y=xu，y'=u+xu'
原方程化为：u+xu'=u+1/u
则xu'=1/u，得udu=dx/x
两边积分得：1/2u^2=ln|x|+ln|C1|
则u^2=2ln|C1*x|，得e^(u^2)=(C1*x)^2=Cx^2
最终结果为：e^((y/x)^2)=Cx^2