Question

已知△ABC中，AB＞AC，AD为∠A的角平分线，P为AD上任意一点，试说明；;AB-AC＞PB-PC.

Answer 1

证明:在ABC中,
∵AB>AC
∴可在AB上取一点E,使AE=AC
∴AB-AE=AB-AC=BE
∵AD平分BAC
∴EAP=CAP
在AEP和ACP中
∴AEP≌ACP
(SAS)
∴PE=PC
∵在BPE中
BE>BP-PE
∴AB-AC>PB-PC
注意:对于角平分线这一条件在添加辅助线时,常常采用翻折法的思想截长或补短.
第一种方法:
1)证明:
在ab上取一点c',使ac'=ac,bc'=ab-ac'=ab-ac
由于pa是角bac的角平分线==>c'ap=<cap
ac'=ac,ap=ap
所以▲apc'和▲apc全等==>pc'=pc
在▲pc'b中:
pb<pc'
bc'==>pb-pc'<bc'
==>pb-pc<bc'
bc'=ab-ac
所以PB-PC<AB-AC.
注意:上面的小写你要改成大写字母
第二种方法:
2)在ac的延长线上取点b',ab'=ab,cb'=ab'-ac=ab-ac
很明显▲pab和▲pab'全等==>pb=pb'
在▲pcb'中,两边之和大于第三边
==>pb'<pc
cb'==>pb'-pc<cb'
==>pb-pc<cb'
cb'=ab-ac
带入即可