Question

证明：若一个函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数图像关于a+b/2对称

Answer 1

解
函数f(x)满足：
f(x+a)+f(b-x)=c.
把式子中的x换成x-a,
可得：
f(x)+f[(a+b)-x]=c.
..........(【1】式）
易知：
点P(p,
q)与点Q(a+b-p,
c-q)关于定点M((a+b)/2,
c/2)对称。
可设点P(p,
q)是曲线y=f(x)上的任意一点，
则q=f(p)
把【1】式中的x换成p.
结合q=f(p)可得：
f[(a+b)-p]=c-q
这说明点Q(a+b-p,
c-q)也是曲线y=f(x)上的点，
而两点P,
Q关于点M对称。
∴曲线y=f(x)关于点M((a+b)/2,
c/2)对称。