Question

二次型矩阵f(x1,x2,x3)=x^TAx，A满足A^2-2A=0，请指出下我这样的问题在哪？

推导如下：
令A=(a1,a2,a3)
因为：
A^2=2A
则：
A(a1,a2,a3)=2(a1,a2,a3)
所以：
A的列向量量a1，a2，a3都是特征值λ=2的特征向量

我知道应该通过λ^2-2λ=0来计算特征值。但是请问我上面这个做法错在哪里？

Answer 1

你的问题不完整, 假定你的目标是求A的特征值.

首先, 只有非零向量才能作为特征向量, 而你的推理中并没有判断这一点, 所以不足以说明a1, a2, a3都是特征向量, 其中完全可能有零向量.
即使题目额外提供了a1, a2, a3都是非零向量的条件, 那么它们确实都是特征值2对应的特征向量, 那也仅此而已, 不足以说明特征值2的重数(不管是代数重数还是几何重数), 因为a1, a2, a3可以线性相关.
从题目条件其实可以说明A可对角化, 并且A的特征值只可能是0.2, 如果没有别的条件那就没有更强的结论了, 甚至不能说明0和2是不是都是特征值(有可能只有一个是而另一个不是).

追问

谢谢，原题其实还给出“ξ1为Ax=0的基础解系”这一条件，题目求的是f(x1,x2,x3)表达式。
题目不完整是因为我想把题目给的A^2=2A这个条件翻译一下。
所以说我错误点是在于：
1.并未考虑a1，a2，a3可能存在0向量。
2.并未考虑a1，a2，a3可能存在线性相关。
结论就是：
单纯A^2=2A这个条件只能得到A的特征值为0和2，也无法判断是几重根

Answer 2

已知a1=(0,1,1)T是齐次方程组Ax=0的基础解系
所以 n-r(A) = 1
所以 R(A) = n-1 = 3-1 = 2