Question

已知函数f(x)=1-2a^X-a^2X(a大于1）

一：求函数f(x)的值域
二：若x属于（-2，1）时函数f(x)的最小值为-7，求a并求出函数的最大值。

Answer 1

取参量t=a^x(a>1)，那么有：t>0
f(t)=1-2t-t²

一、根据二次函数的性质，当t=-(-2)/[2×(-1)]=-1时有最大值。又有t定义域为t>0，在定义域内函数单调递减，故有f(t)<f(0)=1

二、解方程f(t)=-7(即t²+2t-8=0)得到：t=-4(不符合定义域，舍去)或t=2
根据对函数增减性的分析，可知函数最小值对应的数值就是自变量最大值的数值，所以有t<2；又由指数函数a^x的单调递增性知对应t=2的值的x=1
所以有a^1=2，即a=2
那么函数的最大值就对应自变量数值：t=2^(-2)=1/4
最大值f(1/4)=1-2×(1/4)-(1/4)²=7/16