圆C的半径为3,圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方,x轴被圆C截得的弦长为25.(1)求圆C的方程;(2)是否
圆C的半径为3,圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方,x轴被圆C截得的弦长为25.(1)求圆C的方程;(2)是否存在斜率为1的直线l,使得以l被圆C截得的弦AB为直径的...
圆C的半径为3,圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方,x轴被圆C截得的弦长为25.(1)求圆C的方程;(2)是否存在斜率为1的直线l,使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由.
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解:(1)如图由圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方,x轴被圆C截得的弦长为2
可得圆心到x轴的距离为2
∴C(1,-2)
∴圆C的方程是(X-1)2+(Y+2)2=9--(4分)
(2)设L的方程y=x+b,以AB为直径的圆过原点,则
OA⊥OB,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1x2+y1y2=0 ①---------------(6分)
由
得2x2+(2b+2)x+(b2+4b-4)=0----------(8分)
要使方程有两个相异实根,则
△=(2+2b)2-4×2(b2+4b-4)>0 即?3
?3<b<3
?3---------(9分)
x1+x2=?1?b,x1x2=
---------------------------(10分)
由y1=x1+b,y2=x2+b,代入x1x2+y1y2=0,得2x1x2+(x1+x2)b+b2=0-------(12分)
即有b2+3b-4=0,b=-4,b=1---------------------------------(13分)
故存在直线L满足条件,且方程为y=x-4或y=x+1----------------------(14分)
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∴C(1,-2)
∴圆C的方程是(X-1)2+(Y+2)2=9--(4分)
(2)设L的方程y=x+b,以AB为直径的圆过原点,则
OA⊥OB,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1x2+y1y2=0 ①---------------(6分)
由
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要使方程有两个相异实根,则
△=(2+2b)2-4×2(b2+4b-4)>0 即?3
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x1+x2=?1?b,x1x2=
b2+4b?4 |
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由y1=x1+b,y2=x2+b,代入x1x2+y1y2=0,得2x1x2+(x1+x2)b+b2=0-------(12分)
即有b2+3b-4=0,b=-4,b=1---------------------------------(13分)
故存在直线L满足条件,且方程为y=x-4或y=x+1----------------------(14分)
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