Question

已知反比例函数y=k2x和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b）、（a+1，b+k）两点．（1）求反比

已知反比例函数y=k2x和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b）、（a+1，b+k）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）若两个函数图象在第一象限内的交点为A（1，m），请问：在x轴上是否存在点B，使△AOB为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点B的坐标；（3）若直线y=-x+12交x轴于C，交y轴于D，点P为反比例函数y=k2x（x＞0）的图象上一点，过P作y轴的平行线交直线CD于E，过P作x轴的平行线交直线CD于F，求证：DE?CF为定值．

Answer 1

解答：解：（1）∵y=2x-1的图象经过（a，b）、（a+1，b+k）两点，
∴

2a?1＝b 2(a+1)?1＝b+k

，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为y=

1

x

；

（2）∵A（1，m）在反比例函数y=

1

x

上，
∴A（1，1），
若∠ABO=90°，则B（1，0）；
若∠OAB=90°，则B（2，0）．
∴在x轴上存在点B，使△AOB为直角三角形，且满足条件的点B有两个，
即：B₁（1，0），B₂（2，0）；

（3）设P（x，y），
∵直线y=-x+

1

2

交x轴于C，交y轴于D，
∴C（0.5，0），D（0，0.5），
∴△OCD为等腰直角三角形．
作FM⊥x轴于M，EN⊥y轴于N，
则△FMC、△DEN为等腰直角三角形，
∴FC=

2

FM=

2

y，DE=

2

EN=

2

x，
∴DE?CF=2xy，
∵P（x，y）在y=

1

x

上，
∴xy=1，
∴DE?CF=2．