Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上一动点，点Q为

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上一动点，点Q为边AC上一动点，且∠PDQ=90°． （1）求ED、EC的长；（2）若BP=2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．

Answer 1

（1） ， ；（2）CQ 或CQ ；（3） 或

试题分析：（1）先根据勾股定理求得BC的长，再结合点D为BC的中点可得CD的长，然后证得△ABC∽△DEC，根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）分①当点P在AB边上时，②当点P在AB的延长线上时，根据相似三角形的性质求解即可； （3）由△BPD∽△EQD可得 ，若设BP="x" ，则 ， ，可得 ，即得∠QPD=∠C，又可证∠PDE=∠CDQ，则可得△PDF∽△CDQ，再分①当CQ=CD时，②当QC=QD时，③当DC=DQ时，三种情况，根据等腰三角形的性质求解即可. （1）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8  ∴BC=10 点D为BC的中点   ∴CD=5 可证△ABC∽△DEC ∴ ， 即 ∴ ， ； （2）①当点P在AB边上时，在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°， 在Rt△EDC中，∠DEC+∠C=90°，  ∴∠DEC=∠B ∵DE⊥BC，∠PDQ=90°  ∴∠PDQ=∠BDE=90°  ∴∠BDP=∠EDQ ∴△BPD∽△EQD ∴ ，即 ， ∴ ∴CQ=EC-EQ ； ②当点P在AB的延长线上时，同理可得： ， ∴CQ=EC+EQ ； （3）∵线段PQ与线段DE的交点为点F， ∴点P在边AB上 ∵△BPD∽△EQD    ∴ 若设BP="x" ，则 ， ，可得     ∴∠QPD=∠C 又可证∠PDE="∠CDQ" ∴△PDF∽△CDQ ∵△PDF为等腰三角形 ∴△CDQ为等腰三角形 ①当CQ=CD时，可得 ，解得 ②当QC=QD时， 过点Q作QM⊥CB于M， ∴ ， ∴ ，解得 ③当DC=DQ时，过点D作DN⊥CQ于N， ∴ ， ∴ ，解得 (不合题意，舍去) ∴综上所述， 或 . 点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．