Question

求微分方程y"+2y'+y=0的通解

Answer 1

微分方程y″-y′-2y=0的通解为y=C1*e^(2x)+C2*e^(-x)+C。

解：根据微分方程特性，可通过求特征方程的解来求微分方程的通解。

微分方程y″-y′-2y=0的特征方程为r^2-r-2=0，

可求得，r1=2，r2=-1。

而r1≠r2。

那么微分方程y″-y′-2y=0的通解为

y=C1*e^(2x)+C2*e^(-x)+C（其中C1、C2与C为任意实数）。

特点：

通常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。

应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

Answer 2

具体回答如下：

因为特征方程为：r^2+2r+1=0，r=-1

所以通解为y=(C1x+C2)e^(-x)

微分方程约束条件：

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

Answer 3

待定系数法：
y"+2y'-y=0
化为：(y'-αy)'=β(y'-αy)，其中α、β为待定的系数
不难发现：α+β=-2，αβ=-1，解得：α=-1+√2，β=-1-√2
从而得：d(y'-αy)/(y'-αy)=βdx
积分得：y'-αy=a*e^{βx}，a为积分常数
在这一步令y=u*e^{βx}为上述方程的通解，代入化简可得
u'+(β-α)u=a
即u'+(β-α)[u-a/(β-α)]=0
令v=u-a/(β-α)可得：v'+(β-α)v=0
可得：dv/v=(α-β)dx
积分得：v=b*e^{(α-β)x}
带回可得：u=a/(β-α)+b*e^{(α-β)x}
带回可得：y=[a/(β-α)+b*e^{(α-β)x}]e^{βx}=b*e^{αx}+a/(β-α)*e^{βx}
不妨令c=a/(β-α)，则：y=b*e^{αx}+c*e^{βx}

由α=-1+√2，β=-1-√2代入可得：
y=b*e^{-x}*e^{√2x}+c*e^{-x}*e^{-√2x}=e^{-x}[be^{√2x}+ce^{-√2x}]
=(1/2)e^{x}[(b+c+b-c)e^{√2x}+[b+c-(b-c)]e^{-√2x}]
=e^{x}[(b+c)(e^{√2x}+e^{-√2x})/2+(b-c)(e^{√2x}-e^{-√2x})/2]
=e^{x}[(b+c)cosh√2x+(b-c)sinh√2x]
再令d=b+c，e=(b-c)
从而得：y=e^{x}(dcosh√2x+esinh√2x)