Question

如图，Rt△ABE中，AB⊥AE以AB为直径作⊙O，交BE于C，弦CD⊥AB，F为AE上一点，连FC，则FC=FE（1）求证：CF

如图，Rt△ABE中，AB⊥AE以AB为直径作⊙O，交BE于C，弦CD⊥AB，F为AE上一点，连FC，则FC=FE（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）已知点P为⊙O上一点，且tan∠APD=12，连CP，求sin∠CPD的值．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠BAE=90°，
∴∠B+∠E=90°，
又∵OB=OC，CF=EF，
∴∠BCO=∠CBO，∠E=∠ECF，
∴∠BCO+∠ECF=90°，
∴∠FCO=90°，
∴CF是⊙O切线；

（2）解：∵CD⊥AB，
∴

AC

=

AD

，
∴∠B=∠APD，∠COM=∠CPD，
∴tan∠APD=tan∠B=

1

2

=

CM

BM

，
设CM=t，BM=2t，OB=OC=R，OM=2t-R，
∴R²=t²+（2t-R）²，
∴R=

5

4

t，
∴sin∠CPD=sin∠COM=

CM

OC

=

4

5

．