Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点（1，32），其离心率e=12．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过坐标

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点（1，32），其离心率e=12．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过坐标原点O作不与坐标轴重合的直线l交椭圆C于P、Q两点，过P作x轴的垂线，垂足为D，连接QD并延长交椭圆C于点E，试判断随着l的转动，直线PE与l的斜率的乘积是否为定值？说明理由．

Answer 1

（I）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）离心率e=

1

2

，
∴

1? b2 a2

=

1

2

，3a²=4b²，
∵点（1，

3

2

）在椭圆C上，∴

1

a2

+

9

4b2

＝1，
解得a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程是

x2

4

+

y2

3

＝1．
（Ⅱ）设直线l的方程是y=kx，P（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
则Q（-x₁，-y₁），D（x₁，0），直线QD的斜率是

y1

2x1

＝

k

2

，
直线QD的方程是y=

k

2

(x?x1)，
由

y＝ k 2 (x?x1) x2 4 + y2 3 ＝1

，得(3+k2)x2?2k2x1x+k2x12?12＝0，
则-x1+x2＝

2k2x1

3+k2

，
∴kPE?kl＝

y2?y1

x2?x1

?k
=

k 2 (x2?x1)?kx1

x2?x1

?k
=

k 2 ? 2k2x1 3+k2

2k2x1 3+k2

?k
=

k 2 ? 2k2x1 3+k2

2k2x1 3+k2

?k=-

3

2

．
∴直线PE与l的斜率的乘积是定值-

3

2

．