Question

如图，已知平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，

如图，已知平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，在平面α内有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则△PAB的面积的最大值是（　　）A．12B．24C．32D．48

Answer 1

由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，
∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，
∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，
∴PB=2PA
作PM⊥AB，垂足为M，令AM=t∈R，
在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，AM是公共边及PB=2PA
∴PA²-t²=4PA²-（6-t）²
解得PA²=12-4t
∴PM=

12?4t?t2

∴S=

1

2

×AB×PM=

1

2

×6×

12?4t?t2

=3

12?4t?t2

=

16?(t+2)2?

≤12
即三角形面积的最大值为12
故选A