Question

已知f（x）=ax 3 +3x 2 -x+1，a∈R．（Ⅰ）当a=-3时，求证：f（x）=在R上是减函数；（Ⅱ）如果对?x∈R不

已知f（x）=ax 3 +3x 2 -x+1，a∈R．（Ⅰ）当a=-3时，求证：f（x）=在R上是减函数；（Ⅱ）如果对?x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=-3时，f（x）=-3x 3 +3x 2 -x+1， ∵f′（x）=-9x 2 +6x-1=-（3x-1） 2 ≤0， ∴f（x）在R上是减猜颤饥函数； （Ⅱ）∵?x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立， 即?x∈R不等式3ax 2 +6x-1≤4x恒洞碰成立， ∴?x∈R不等式3ax 2 +2x-1≤0恒成立， 当a≥0时，?x∈R，3ax 2 +2x-1≤0不恒成立， 当a＜0时，?x∈R不等式3ax 2 +2x-1≤0恒成穗返立， 即△=4+12a≤0， ∴a≤- 1 3 ．