Question

（2014?长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交A

（2014?长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵D是BC的中点，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AC；

（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°，
∴∠ADE=∠DCE
在△ADE和△CDE中，

∠AED＝∠DEC ∠ADE＝∠DCE

∴△CDE∽△DAE，
∴

DE

AE

＝

CE

DE

，
设tan∠ACB=x，CE=a，则DE=ax，AC=3ax，AE=3ax-a，
∴

ax

3ax?a

＝

a

ax

，整理得：x²-3x+1=0，
解得：x=

3± 5

2

，
∴tan∠ACB=

3± 5

2

．