Question

sinx^8 积分

求过程~谢谢

Answer 1

先化简再积分

①直接利用三角公式化简：

sinx^8=(1-cos2x)^4/16

=(1＋cos2x^2－2cos2x)^2/16

=(3－4cos2x＋cos4x)^2/64

=(9＋16cos2x^2＋cos4x^2＋6cos4x－24cos2x－8cos2xcos4x)/64

=(9＋8＋8cos4x＋1/2＋cos8x/2＋6cos4x－24cos2x－4cos6x－4cos2x)/64

=35/128－7/16cos2x＋7/32cos4x－cos6x/16＋cos8x/128

②利用公式sinx=j[Exp(-jx)-Exp(jx)]/2：

sinx^8

=[Exp(-jx)-Exp(jx)]/2^8

=1/256∑C(8,n)(-)^nExp[j(2n-8)x]

=1/256[2cos8x－16cos6x＋56cos4x－112cos2x＋70]

二或者用递推，令：F[n]=∫sinx^(2n)dx

F[n]=-∫sinx^(2n-1)dcosx

=-cosxsinx^(2n-1)＋∫cosxd[sinx^(2n-1)]

=-cosxsinx^(2n-1)＋(2n-1)∫cosx^2 sinx^(2n-2)dx

=-cosxsinx^(2n-1)＋ (2n-1)(F[n-1]-F[n])

F[n]={-cosxsinx^(2n-1)＋(2n-1)F[n-1]}/(2n)

F[0]=x

扩展资料：

积分都满足一些基本的性质。在黎曼积分意义上表示一个区间，在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。积分是线性的。如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。

可积的函数构成了一个线性空间。黎曼积分的意义上，所有区间[a,b]上黎曼可积的函数f和g都满足。在积分区域上，积分有可加性。

被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。

参考资料来源：百度百科——积分

Answer 2

一先化简再积分
①直接利用三角公式化简：
sinx^8=(1-cos2x)^4/16
=(1＋cos2x^2－2cos2x)^2/16
=(3－4cos2x＋cos4x)^2/64
=(9＋16cos2x^2＋cos4x^2＋6cos4x－24cos2x－8cos2xcos4x)/64
=(9＋8＋8cos4x＋1/2＋cos8x/2＋6cos4x－24cos2x－4cos6x－4cos2x)/64
=35/128－7/16cos2x＋7/32cos4x－cos6x/16＋cos8x/128
②利用公式sinx=j[Exp(-jx)-Exp(jx)]/2：
sinx^8
=[Exp(-jx)-Exp(jx)]/2^8
=1/256∑C(8,n)(-)^nExp[j(2n-8)x]
=1/256[2cos8x－16cos6x＋56cos4x－112cos2x＋70]
二或者用递推，令：F[n]=∫sinx^(2n)dx
F[n]=-∫sinx^(2n-1)dcosx
=-cosxsinx^(2n-1)＋∫cosxd[sinx^(2n-1)]
=-cosxsinx^(2n-1)＋(2n-1)∫cosx^2 sinx^(2n-2)dx
=-cosxsinx^(2n-1)＋ (2n-1)(F[n-1]-F[n])
F[n]={-cosxsinx^(2n-1)＋(2n-1)F[n-1]}/(2n)
F[0]=x

Answer 3

LZ看图！

1楼太乱

Answer 4

用华里士公式 （sinx）^n的积分=n-1/n ✖️n-3/n-2…✖️1/2*派/2 n为偶数。