Question

已知函数f（x)=log2 x-a/x+1,a属于R,且函数f（x)是奇函数，急求！

已知函数f（x)=log2 x-a/x+1,a属于R,且函数f（x)是奇函数。
（1）求a的值
（2）当-4<=x<=-2时，不等式f（x)>=log2(1-mx)恒成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

1. f(x)=log₂(x-a)/(x+1)

   f(-x)=log₂(-x-a)/(-x+1)=-f(x)=log₂(x+1)/(x-a)

   (x+a)/(x-1)=(x+1)/(x-a)→a²=1→a=-1不合题意a=1

   f(x)=log₂(x-1)/(x+1)

   

2. -4≤x≤-2时f(x)=log₂(1-x)-log₂(-1-x)

   f'(x)=[1/(1-x)-1/(1+x)]·1/ln2=2x/ln2(1-x²)>0 区间内f(x)单调递增

   f(x)≥f(-4)=log₂(5/3)

   g(x)=log₂(1-mx)
   

   由x∈[-4,-2],1-mx>0→m>-¼
   

   g'(x)=-m/[ln2·(1-mx)

   当m∈[-¼,0)时 g'(x)>0 g(x)单调递增 g(x)≤g(-2)=log₂(1+2m)<0<log₂(5/3),

   不等式成立

   m=0时 g(x)=0<log₂(5/3),不等式成立

   当m>0时

   g'(x)<0 g(x)单调递减

   g(x)≤g(-4)=log₂(1+4m)

   当log₂(1+4m)≤log₂(5/3)时，不等式恒成立

   1+4m≤5/3→m≤⅙

   综上：m∈[-¼,⅙]

追问

请问为什么-f（x）会等于log₂(x+1)/(x-a)，中间是如何转化的呢？

追答

-ln(a/b)=ln(a/b)^(-1)=ln(b/a)

追问

感谢！

Answer 2

追问

请问能否用奇函数的性质解答？