Question

用数学归纳法证明:1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(n+n)>=11/24 感激不尽!!

Answer 1

当n＝1时，有左边＝1/2显然大于11/24
假设当n＝m时，定理成立
则有1/（m+1）+1/（m+2）+。。。＋1/（m+m）>=11/24
可得1/（m+2）+。。。＋1/（m+m）>=11/24-1/（m+1）。。。（1）
那么当n＝m＋1时，左边＝1/（m+2）+1/（m+3）＋。。。＋1/（m+m）
+1/（m+1+m）+1/（m+1+m+1）
把（1）式代入，可得左边>=11/24-1/（m+1）+1/（2m+1）+1/[2(m+1)]
=11/24+1/(2m+1)-1/[2(m+1)]。。。（2）
因为（2m+1）肯定是小于2（m+1）的，所以1/(2m+1)-1/[2(m+1)]肯定大于0
所以（2）式肯定是>=11/24的
所以定理就证明好了

Answer 2

很显然的
(n+1)+(n+2)+...+(n+n)
=(n+n+...+n)+(1+2+...+n)
=n²+n(n+1)/2
=n(3n+1)/2
下面用数学归纳法证明
(i)n=1时显然成立
(ii)假设n=k时等式成立，
则(k+1)+(k+2)+...+(k+k)=k(3k+1)/2
当n=k+1时
左边=(k+1+1)+(k+1+2)+...+(k+1+k-1)+(k+1+k)+(k+1+k+1)
=(k+2)+(k+3)+...+(k+k)+(k+1+k)+(k+1+k+1)
=(k+1)+(k+2)+(k+3)+...+(k+k)
+(k+1+k)+(k+1+k+1)-(k+1)
=k(3k+1)/2+3k+2
=(3k²+7k+4)/2
=(k+1)[3(k+1)+1]/2
得证
则n=k+1时等式也成立
则原式成立