Question

f(x)在[0,1]上非负单调减少，0<a<b<1,证明∫（0到a）f(x)dx>=a/b∫(a到b)f(x)dx

Answer 1

分情况讨论一下，有一种情况想了半天还没想出来。
（1）当f(x)为在[0,b]上单调下降的正值连续函数时
有：左边>b∫[0,a]f(a)dx=abf(a)
右边所以左边＞右边。
（2）当f(x)为在[0,b]上为常数c时
有：左边=abc
右边=abc-a²c
所以左边≥右边当c等于0时等号成立。
（3）当f(x)为在[0,b]上单调上升的正值连续函数时
（这种情况还没想出来怎么处理，你有好的办法吗？）

Answer 2

证明:
在(0,a)取一点ξ1,使得∫（0到a）f(x)dx
=
f(ξ1)
(a-0)-------定积分中值定理
同理,在(a,b)取一点ξ2,使得
∫
(a到b)
f(x)dx
=
f(ξ2)
(b-a)
因为题设
f(x)在[0,1]上非负单调减少,
所以
f(ξ1)
>
f(ξ2)
a/b
∫(a到b)
f(x)dx
=
a/b
(b-a)
f(ξ2)=a(1-a/b)
f(ξ2)
而1-a/b<1.
即a(a-a/b)
f(ξ2)
<
a
f(ξ2)
∫（0到a）f(x)dx
=
f(ξ1)
(a-0)
=a
f(ξ1)
>
a
f(ξ2)
>a(a-a/b)
f(ξ2)=a/b∫(a到b)f(x)dx