Question

已知函数f(x)=5sinxcosx-5√3cos^2x+[(5√3)/2] (x∈R)

(1)求f(x)的最大值、并求当函数f(x)取最大值时自变量x的集合
(2)确定f(x)的单调递增区间以及最小正周期。

写出具体过程 谢谢。

Answer 1

f(x)=5sinxcosx-5√3 cos^2 x+5√3/2=5sin2x/2-5√3[(1+cos2x)/2]+5√3/2
=5sin2x/2-5√3cos2x/2
=5*sin(2x-п/3)
所以函数的最小正周期为2п/2=п
2kп-п/2≤2x-п/3≤2kп+п/2
2kп-п/6≤2x≤2kп+5п/6
kп-п/12≤2x≤kп+5п/12
所以函数的单调递增区间是[kп-п/12'kп+5п/12]
2kп-п≤2x-п/3≤2kп-п/2
2kп-2п/3≤2x≤2kп-п/6
kп-п/3≤x≤kп-п/12;
2kп+п/2≤2x-п/3≤2kп+п
2kп+п5/6≤2x≤2kп+4п/3
kп+п5/12≤2x≤kп+2п/3
所以函数的递减区间是[kп-п/3'kп-п/12],[kп+п5/12'kп+2п/3]
2x-п/3=2kп
x=kп+5п/12
所以函数的对称轴是x=kп+5п/12
（2）2sina+cosa)/(sina-3cosa)=-5
分子分母同属除以cosa,得(2tana+1)/(tana-3)=-5,2tana+1=-5tana+15
tana=2
sin2a=2tana/(1+tan^2a)=4/5
cos2a=(1-tan^2a)/(1+tan^2a)=-3/5
则3cos2a+4sin2a=7/5