Question

△ABC中(AB>AC),AD平分∠BAC,P为AD上任一点,求证:AB-AC>PB-PC

Answer 1

分析:在AB上取一点E,使AE=AC,连结PE,所以AB-AC=AB-AE=BE,在 △PEB中,AB-AC>PB-PE,而PE=PC可证,思路畅通.

证明:在△ABC中,
∵AB>AC
∴可在AB上取一点E,使AE=AC
∴AB-AE=AB-AC=BE
∵AD平分∠BAC
∴∠EAP=∠CAP
在△AEP和△ACP中

∴△AEP≌△ACP (SAS)
∴PE=PC
∵在△BPE中
BE>BP-PE
∴AB-AC>PB-PC
注意:对于角平分线这一条件在添加辅助线时,常常采用翻折法的思想截长或补短.

第一种方法：

1)证明: 在AB上取一点C',使AC'=AC,BC'=BC-AC'=AB-AC
由于PA是∠BAC的角平分线→∠C'AP=∠CAP AC'=AC,AP=AP

所以△APC'和△APC全等→pc'=pc

在△PC'B中: PB<PC'+BC'==>PB-PC'<BC' ==>PB-PC<BC' BC'=AB-AC

所以PB-PC<AB-AC.

注意：上面的小写你要改成大写字母

第二种方法：

2)在AC的延长线上取点B',AB'=AB,CB'=AB'-AC=AB-AC

很明显△PAB和△PAB'全等→PB=PB'
在△PCB'中，两边之和大于第三边 →PB'<PC+CB'→PB'-PC<CB' →PB-PB<CB' CB'=AB-AC 带入即可

Answer 2

在AB上取点F使得AF=AC,连接PF,DF，可以证明三角形AFP全等于三角形ACP，这样PC=PF，
要证的式子等价于BF>PB-PF,这个就是三角形两边差小于第三边。