Question

在△CAB,△DEF中，CA=CB,DE=DF,∠ACB=∠EDF=90°，若把△DEF的顶点E放

在△CAB,△DEF中，CA=CB,DE=DF,∠ACB=∠EDF=90°，若把△DEF的顶点E放在AB的中点处，并绕E旋转，交直线CA,CB于M,N,连接CE,MN。
（1）若△DEF绕E旋转到如图1位置，则CN,CM,MN,CE之间有何确定的数量关系？请证明。
（2）若△DEF绕E旋转到如图2位置，（1）的结论又如何？加以证明。.

Answer 1

⑴CM+CN+MN=√2CE。
在BC上取BG=CN，连接FG，
∵ΔABC是等腰直角三角形，E为AB的中点，∴∠MCE=∠B=45°，EC=EB，BC=√2CE
∴ΔCEG≌ΔMEG，∴EM=EG、∠MEC=∠GEB，∵CE⊥AB，∠MEN=45°，∴∠NEG=45°
从而ΔENM≌ΔNEG，∴MN=NG，∴CM+CN+MN=BC=√2CE
⑵在AC上截取AH=CN，同理可证：MN+CN-CN=√2CE。

Answer 2

难得看题

追答

给个图片

Answer 3

（1）cn+mn+cm=
2
ce．理由如下：
在bc上截取bg=cm，连接eg，如图1，
∵ca=cb，de=df，∠acb=∠edf=90°，
∴△acb和△def都是等腰直角三角形，
∴∠a=∠b=45°，∠def=45°，
∵e为ab的中点，
∴ce=ae=be，
∴∠ace=45°，bc=
2
ce，
在△mce和△gbe中，
cm＝bg
∠mce＝∠b
ce＝be
，
∴△mce≌△gbe（sas），
∴em=eg，∠1=∠2，
∵∠1+∠3=45°，
∴∠3+∠2=45°，
∴∠4=45°，
在△enm和△eng中，
en＝en
∠nem＝∠neg
em＝eg
，
∴△enm≌△eng（sas），
∴mn=gn，
∴bc=cn+ng+bg=cn+mn+cm，
∴cn+mn+cm=
2
ce；
（2）（1）中的结论不成立，cn+mn-cm=
2
ce．理由如下：
在ac上截取ah=cn，连接eh，如图2，
在△ahe和△cne中，
ah＝cn
∠a＝∠ecn
ae＝ce
，
∴△ahe≌△cne（sas），
∴eh=en，∠aeh=∠cen，
而∠cen=∠cem+∠men=∠cem+45°，
∠aeh+∠hce=90°，
∴∠hec+∠cem=90°-（∠cem+45°）+∠cem=45°，
∴∠hem=∠nem，
在△emh和△emn中，
eh＝en
∠hem＝∠nem
em＝em
，
∴△emh≌△emn（sas），
∴mh=mn，
∴ch=mh-cm=mn-cm，
∴ac=ah+ch=cn+mn-cm，
∴cn+mn-cm=
2
ce．