Question

行列式的一道题 A是3阶实对称矩阵，A^3=E，求|A^2+3A-2E|的值

Answer 1

因为实对称矩阵的特征值必为实数，
A是3阶实对称矩阵，且A^3=E
所以A的特征值必为1(三重）
从而A^2+3A-2E的特征值为1+3-2=2（三重）
所以|A^2+3A-2E|=8

Answer 2

对于实对称矩阵，对角化是常用技巧。将A对角化为P'DP（'代表转置），设D=diag(a,b,c)，则
A³=P'DPP'DPP'DP=P'D³P=E，即D³=E=diag(a³,b³,c³)，即a=b=c=1，D=E，故A=P'DP=E。
于是
|A²+3A-2E|=|E²+3E-2E|=|2E|=8。