已知函数f（x）=2lnx-x2+ax，a∈R（1）当a=2时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线的方程；（2）若函数f（
已知函数f（x）=2lnx-x2+ax，a∈R（1）当a=2时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线的方程；（2）若函数f（x）-ax+m=0在[1e，e}上有两个不等的...
已知函数f（x）=2lnx-x2+ax，a∈R（1）当a=2时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线的方程；（2）若函数f（x）-ax+m=0在[1e，e}上有两个不等的实数根，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）的图象与x轴交于不同的点A（x1，0），B（x2，0）且0＜x1＜x2，求证：f′（px1+qx2）＜0（其中实数p，q满足0＜p≤q，p+q=1）
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（1）当a=2时，f（x）=2lnx-x2+2x，
f′(x)＝
?2x+2，
切点坐标为（1，1），
切线的斜率k=f′（1）=2，
∴切线方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0．
（2）方程f（x）-ax+m=0即为2lnx-x2+m=0，
令g（x）=2lnx-x2+m，
则g′（x）=
?2x=
，
∵x∈[
，e]，∴g′（x）=0时，x=1．
当
＜x＜1时，g′（x）＞0；
当1＜x＜e时，g′（x）＜0，
故函数g（x）在x=1取得极大值g（1）=m-1，
又g（
）=m-2-
，g（e）=m+2-e2，
g（e）-g（
）=4-e2+
＜0，
则g（e）＜g（
），
故函数g（x）在[
，e]上的最小值是g（e）．
方程f（x）-ax+m=0在[
，e]上有两个不相等的实数根，
则有
，
解得1＜m≤2+
，
故实数m的取值范围是（1，2+
]．
（3）∵函数f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），
2lnx-x2+ax=0的两个根为x1，x2，
则
，
两式相减，得a=（x1+x2）-
，
f（x）=2lnx-x2+ax，
f′(x)＝
?2x+a，
则f′(px1+qx2)＝
-2（px1+qx2）+（x1+x2）-
=
-2（px1+qx2）+（x1+x2）-
=
?
?(2p?1)x1-（2q-1）x2 ，（∵p+q=1）
=
?
+（2p-1）（x2-x1），（*）
∵0＜p≤q，p+q=1，则2p≤1，
∵0＜x1＜x2，∴（2p-1）（x2-x1）≤0．
下面证明
?
＜0，
即证明
+ln
＜0，
令t=
，∵0＜x1＜x 2 ，∴0＜t＜1，
即证明u（t）=
+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立．
∵u′（t）=
?
=
=
f′(x)＝
| 2 |
| x |
切点坐标为（1，1），
切线的斜率k=f′（1）=2，
∴切线方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0．
（2）方程f（x）-ax+m=0即为2lnx-x2+m=0，
令g（x）=2lnx-x2+m，
则g′（x）=
| 2 |
| x |
| ?2(x+1)(x?1) |
| x |
∵x∈[
| 1 |
| e |
当
| 1 |
| e |
当1＜x＜e时，g′（x）＜0，
故函数g（x）在x=1取得极大值g（1）=m-1，
又g（
| 1 |
| e |
| 1 |
| e2 |
g（e）-g（
| 1 |
| e |
| 1 |
| e2 |
则g（e）＜g（
| 1 |
| e |
故函数g（x）在[
| 1 |
| e |
方程f（x）-ax+m=0在[
| 1 |
| e |
则有
|
解得1＜m≤2+
| 1 |
| e2 |
故实数m的取值范围是（1，2+
| 1 |
| e2 |
（3）∵函数f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），
2lnx-x2+ax=0的两个根为x1，x2，
则
|
两式相减，得a=（x1+x2）-
| 2(lnx1?lnx2) |
| x1?x2 |
f（x）=2lnx-x2+ax，
f′(x)＝
| 2 |
| x |
则f′(px1+qx2)＝
| 2 |
| px1+qx2 |
| 2(lnx1?lnx2) |
| x1?x2 |
=
| 2 |
| px1+qx2 |
| 2(lnx1?lnx2) |
| x1?x2 |
=
| 2 |
| px1+qx2 |
| 2(lnx1?lnx2) |
| x1?x2 |
=
| 2 |
| px1+qx2 |
| 2(lnx1?lnx2) |
| x1?x2 |
∵0＜p≤q，p+q=1，则2p≤1，
∵0＜x1＜x2，∴（2p-1）（x2-x1）≤0．
下面证明
| 2 |
| px1+qx2 |
| 2(lnx1?lnx2) |
| x1?x2 |
即证明
| x2?x1 |
| px1+qx2 |
| x1 |
| x2 |
令t=
| x1 |
| x2 |
即证明u（t）=
| 1?t |
| pt?q |
∵u′（t）=
| 1 |
| t |
| 1 |
| (pt+q)2 |
| p2t2?t(p2+q2)+q2 |
| t(pt+q)2 |
=
