Question

求方程根个数，讨论a的取值范围

Answer 1

令f(x)=e^x,g(x)=ax^2,h(x)=f(x)-g(x).显然上述三函数均连续。
易得h(-∞)＜0,h(0)＞0,因此必存在一点x=x0，使
h(xo)=o,即：
f(xo)=e^xo=g(xo)=axo^2 即：
e^x=ax^2在(-∞，0）上有一实根。

因e^x=ax^2,将方程右边改写左边的形式，当x＞0时，有
x=lna+2lnx (指数相等）
令u(x)=x-lna-2lnx 有
u'(x)=1-2/x
令u'(x1)=o 可得x1=2 并有
x＜x1时，u'(x)＜0; x＞x1时，u'(x)＞0.由此可知x=x1为极小值。
因此，为使方程有根，必须h(x1)≤0,即：
a≥e^2/4 且
u(+∞)＞0
用洛必塔法则易证出x大于lnx,所以
u(+∞)＞0成立。

综上所述：
0＜a＜e^2/4时，方程只有1实根；
a=e^2/4时，有2实根；
a＞e^2/4时，有3实根。