Question

已知两个自然数的积与和之差恰好等於它们的最大公约数与最小公倍数之和，求这样的自然数

Answer 1

设这两个数的最大公约数为K，两个数分别是a*k和b*k
那么他们的最小公倍数就是a*b*k

a*k*b*k-a*k-b*k=a*b*k+k
=>abk-a-b=ab+1
=>k=1/a+1/b+1/(ab)+1

因为k是整数，所以a和b只能分别是1和2，得知k=3
两个数是3和6

验证：他们的最小公倍数是6，最大公约数是3，
6*3-6-3=6+3

Answer 2

不考虑0时。
设这两个数的最大公约数为K，两个数分别是AK和BK，A<B
那么他们的最小公倍数就是ABK

AK * BK - AK - BK = ABK + K
得K =1 + (A+B+1)/AB
因此(A+B+1)/AB必须为整数，有解
A = 1，B =1 ，K = 4，AK=4、BK=4，验得4 * 4 -4 - 4 = 4 + 4
A = 1，B =2 ，K = 3，AK=3、BK=6，验得3 * 6 -3 - 6 = 3 + 6
A = 2，B =3 ，K = 2，AK=4、BK=6，验得4 * 6 -4 - 6 = 2 + 12