Question

一个函数，比如f（x,y,z）对x求偏导数，什么时候把x,y,z视作独立的量，即在求导时把y,z当

一个函数，比如f（x,y,z）对x求偏导数，什么时候把x,y,z视作独立的量，即在求导时把y,z当作常数？什么时候把y,z视作x的关联变量，在求导时以dy/dx或dz/dx处理呢？求详解

Answer 1

答：
1、多元函数求偏导经常使人疑惑的问题就是自变量的偏导如何去求，这里给你先澄清基本概念，然后再说方法；
2、以三元函数u=f(x,y,z)为例，显然，从函数本身考察，其自变量为：x,y,z，因此，如果是求该函数的偏导，显然，形式是：∂u/∂x，∂u/∂y，∂u/∂z；但是如果，题设中明确说明，z是包含x,y的函数，即：z=z(x,y)，此时原函数是：u=f(x,y,z(x,y))，这是求偏导数，就不能将z当作常量求偏导时略去了，因为其包含x,y。
3、总结：从上可以看出，在非复合函数下，三元函数或多元函数的求偏导，其自变量是可以独立的，而在复合函数或关联条件下，就不能将自变量看成独立变量了。
4、从微分角度看，显然三元函数的微分为：du=f1'dx+f2'dy+f3'dz，这个等式非常重要，它表征了微分和偏导，全导，偏导连续之间的关系！
1)如果令：x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，即存在x,y,z的共同自变量，此时：dx=x'dt，dy=y'dt，dz=z'dt，带入上式：
du=f1'x'dt+f2'y'dt+f3'dt，显然：du/dt就是原函数对t的全导数了！
2)如果令：z=z(x,y)，那么显然：dz=z1'dx+z2'dy，带入原式：
du=f1'dx+f2'dy+f3'(z1'dx+z2'dy) = (f1'+f3'z1')dx+(f2'+f3'z2')dy，则：原函数对于x和y的偏导就成了：∂z/∂x=f1'+f3'z1'，∂z/∂y=f2'+f3'z2'
5、从隐函数的角度分析同上，只需令：F(x,y,z,u)=u-f(x,y,z)=0，也能得到类似结论，这里不在赘述。
6、综上，可以总结：当视x,y,z为独立量时，其变量之间没有依存或复合关系，反之当有依存和复合关系时，应将该变量用复合函数的链式求导法则计算。

追问

谢谢你O(∩_∩)O，打这么多字，好感动♥