Question

三角形ABC中,AB=2,AC=4,O是三角形的外心,求AO·BC的最小值

Answer 1

BC=BA+AC，AO=R
设∠BAO=α,∠CAO=β
易知：cosα=AB/2R，cosβ=AC/2R
AO.BC=AO.(BA+AC)=AO.BA+AO.AC=AOBAcos(π-α）+AOACcosβ=AO[ACcosβ-ABcosα]=AO[AC²-AB²]/(2R)=(AC²-AB²)/2=6
算出来的是定值。。。

Answer 2

外心表示外接圆的圆心，所以oa=ob=oc=半径，链接ao，bo，co。然后画个图求。

Answer 3

方法一、（以下运算均为向量运算）
依题意有：
(AO-AB/2)·AB=0
(AO-AC/2)·AC=0
AO·AB=|AB|²/2…………（1）
AO·AC=|AC|²/2…………（2）
(2)-(1) 得
AO·BC=(|AC|² - |AB|²)/2=6
|AO|·|BC|≥AO·BC=6，当且仅当AO平行BC时取等号
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方法二、
以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系
则B的坐标为（2，0）
设C的坐标为（4cosα，4sinα）,其中 0<α<π
则AB的中垂线为x=1
BC的中垂线为 (x-2cosα)cosα+(y-2sinα)sinα=0
带入解得 y=(2-cosα)/sinα
则O的坐标为（1，(2-cosα)/sinα)）

|OA|=√[1+(2-cosα)²/sin²α)]=√[5-4cosα] /sinα
|BC|=√[(4cosα - 2)²+(4sinα)²]=2√[5-4cosα]
|OA|·|BC|=2(5-4cosα])/sinα
f(α)=|OA|·|BC|=2(5-4cosα])/sinα
f'(α)=2(4-5cosα)/sin²α
当0<cosα<4/5时，f'(α)<0；
当4/5<cosα<1时，f'(α)>0；
则当cosα=4/5时，f(α)存在最小值，最小值为2×(5-4×4/5])/(3/5)=6
即当cosα=4/5（∠BAC=arccos4/5）时，AO·BC取得最小值，最小值为6
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