Question

如何求x＋32/x²；x²＋16/x的最小值？

如何求x＋32/x²；x²＋16/x的最小值

Answer 1

题设中应该添加x＞0，
x+32/x²＝x/2+x/2+32/x²
≥3×（2）所以最小值为6
当且仅当x＝4时取等号。

x²+16/x＝x²+8/x+8/x
≥3×（64的立方根）＝12
所以最小值为12
当且仅当x²＝8/x，x＝2时，取等号。

供参考，请笑纳。

追答

关键是平均拆分，以利于使用基本不等式。

Answer 2

函数1=32/1*(ⅹ^2+32ⅹ)
=32/1*(ⅹ+16)^2-32/256
=32/1*(ⅹ+16)^2-8
当x=-16时，原函数1有最小值-8.
函数2=(x+32/1)^2-1024/1
当ⅹ=-32/1时，原函数2有最小值-1024/1.

Answer 3

x＋32/x，可以令y=x＋32/x²

1. y'=1-64/x³

2. 当y'=0的时候，函数有最小值，即1-64/x³=0

3. 64/x^-3=1

4. x³=64

5. x=4

x²＋16/x,可以令y=x²＋16/x

1. y'=2x-16/x²

2. 当y'=0的时候，函数有最小值，即2x-16x^-2=0

3. 2x=6x^-2
   

4. 2x³=16

5. x²=8

6. x=2

当x=4的时候，x＋32/x²=4+32/4²=6，故x＋32/x²最小值是6

当x=2的时候，x²＋16/x=2²+16/2=12，故x²＋16/x最小值是12

注意：我用得是微积分中的微分（求导数）做的