Question

已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．

Answer 1

解题思路：（I）先根据2a1+3a2=1，a32=9a2a6求出等比数列的通项；进而求出数列{bn}的通项，最后 *** 分组求和即可得到数列{bn}的前n项和Sn；（Ⅱ）先求出得表达式，再利用裂项求和求出Tn；进而把kn•2n+1(n+1)≥(7−2n)Tn（n∈N*）恒成立转化为k≥2n−72n恒成立，最后求出不等式右边的最大值即可．

（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42
所以q2=[1/9]．
由条件可知q＞0，故q=[1/3]．
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=[1/3]．
故数列{an}的通项式为an=[1
3n
∴bn=3n+ln(
1/3)n=3n-nln3．
所以Sn=
3n+1−3
2]-
n(n+1)
2ln3．
（Ⅱ）∵Cn=log3 a1+log3a2+…+log3an，
=-（1+2+…+n）=-
n(n+1)
2
故[1
Cn=-
2
n(n+1)=-2（
1/n]-[1/n+1]），
Tn=[1
C1+
1
c2+…+
1
=-2[（1-
1/2]）+（[1/2]-[1/3]）+…+（[1/n]-[1/n+1]）]=-[2n/n+1]
所以数列{[1
}的前n项和为-
2n/n+1]．
k
n•2n+1
(n+1)≥(7−2n)Tn（n∈N*）化简得k≥[2n−7
2n恒成立
设dn=
2n−7
2n，则dn+1-dn=
2(n+1)−7
2n+1−
2n−7
2n=
9−2n
2n+1．
当n≥5，dn+1≤dn，{dn}为单调递减数列，1≤n＜5，dn+1＞dn，{dn}为单调递增数列
当n≥5，+1≤，{}为单调递减数列，当1≤n＜5，+1＞，{}为单调递增数列

1/16]=d4＜d5=[3/32]，所以，n=5时，dn取得最大值为[3/32]
所以，使k
n•2n+1
(n+1)≥(7−2n)Tn（n∈N*）恒成立的实数k≥[3/32]．

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；数列的求和．

考点点评： 本题主要考察数列与不等式的综合以及数列求和的分组求和法，是对数列知识的综合考察，属于中档题目．