Question

高三数学函数综合题

已知函数f(x)=1/2x2+alnx,g(x)=(a+1)x(a≠-1)，H(x）=f（x）-g(x).
(1)若函数f（x），g（x）在区间【1,2】上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围。
（2）α、β是函数H(x)的两个极值点，α小于β，β∈（1，e】。
求证：对任意的x1、x2∈【α，β】，不等式 -1＜H（x1）-H（x2）＜1 成立。
求高手解答。详细过程。

Answer 1

（1）-1<a<0或a>1
g(x)在区间[1,2]单调，则a+1>0，且a+1不等于1，所以a>-1，且a不等于0
且-1<a<0时，g(x)单调减；且a>0时，g(x)单调增
当-1<a<0时，区间[1,2]上，1/2x^2和alnx都单调减，则f(x)单调减，满足同单调性
当a>0时，在区间[1,2]上，1/2x^2单调减，alnx单调增，则f(x)无法直接判断单调性,对f(x)求导，f'(x) = -1/x^3 + a/x，只有f'(x)>0,才能保证f(x)单调增
把a/x和1/x^3的函数曲线画在一起就能看出来，只有当a>1时， a/x-1/x^3在[1,2]上才恒大于0，此时f(x)单调增
综上，-1<a<0或a>1

Answer 2

a>0或a<-1