Question

高中 函数与方程

已知函数f（x）=ax^2+4x+b（a＜0）a，b∈R。设方程f(x)=x的两根为α，β。

①若｜α-β｜=1，求a与b的关系式。
②若a、b均为负整数且｜α-β｜=1，求f（x）的解析式。

Answer 1

f(x)=x的两根为α，β
则
ax^2+3x+b=0两根为α，β
根据韦达定理有
α+β=-3/a
α*β=b/a
|α-β|²=（α+β）²-4α*β=9/a²-4b/a=1
9-4ab=a²
2）
由f(x)=x可得到方程：ax^2+3x+b=0有两实根的前提是9-4ab>0
由于a,b均为负整数，那么就只有2种可能：a=-1或者-2, b=-1或者-2。
根据第一问有 a、b均为负整数
9-4ab=a²
由此可得：
a=-1, b=-2
f(x)=-x^2+4x-2

Answer 2

f(x)=ax²+4x+b

(1)f(x)=ax²+4x+b=x

→ax²+3x+b=0

|α-β|=(α-β)²=(α+β)²-4αβ=9/a²-4b/a=1

a²+4ab-9=0……①

(2)f(x)=ax²+4x+b=0

→△=16-4ab＞0

0＜ab＜4……②

由①和②

a=-1；b=-2

f(x)=-x²+4x-2

Answer 3

(1)a^2+4ab-16=0
(2)由（1）结果可知a（a+4b）=9,又a，b都是负整数，所以a=-1，-3，-9。经排除，得a=-1，b=-2。所以f（x）=-x^2+4x-2