Question

如图,四棱锥p-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,侧面PBC内有BE⊥PC

如图,四棱锥p-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE=√6/3a，试在AB上找一点F，使EF//平面PAD

Answer 1

根据勾股定理，CE^2=BC^2-BE^2,CE=√3a/3,
四边形ABCD是正方形，BC⊥AB，
PA⊥平面ABCD，BC∈平面ABCD，
BC⊥PA，PA∩AB=A，
BC⊥平面PAB，PB∈平面PAB，
BC⊥PB，△PBC是RT△，
BE^2=EC*PE,
PE=2a√3/3，
PC=√3a，
PB=√2a,
在三角形PBC中，作EM//BC，交PB于M，在三角形PAB上作MF//PA，交AB于F，
CE/PC=BM/PB，BM/PB=BF/AB，
BF/AB=（√3a/3）/（√3a）=1/3，
BF=a/3,BC//DA,
ME//BC,ME//AD,
MF//PA,ME∩MF=M,
AD∩PA=A,
故平面MEF//平面PAD，
EF∈平面MFE，
∴EF//平面PAD，
故在AB棱上，取BF=AB/3，连结EF即可使EF//平面PAD。