Question

中考三角形的相似与动点问题

如图，正方形ABCD边长为4，M,N分别是BC,CD上的两个动点，当M在BC上运动时，保持AM和MN垂直。
①证明：Rt△ABM∽Rt△MCN。
②设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积。
③当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN,求此时x的值。

我要详细的中文解释
不仅仅是解答 还要是解释。

好的追加。 狂谢。
如图，

Answer 1

（①若想正面相似则要先根据题目找到适当的证明方法，本题角度方面的条件比较多 所以可以选择角角证相似）
第一题解答如下：
因为四边形ABCD为正方形
所以∠B=90°∠C=90°（现在只要再找一对相等的角就好了）
因为三角形ABM为直角三角形，所以∠MAB+∠BMA=90°
又因为（题目所给条件）AM⊥MN 所以∠AMN=90°
所以∠CMN+∠BMA=90°（看前面两句 就可以判断一对角相等了）
所以∠MAB=∠CMN（现在角角条件已经具备了）
所以，Rt△ABM∽Rt△MCN

②题要求解析式，首先我们可以明确梯形求面积的公式了。所求梯形的上底是CN 下底是AB 高就是BC，AB、BC已知 关键就是求CN了。求CN应该想到第一题已做的证明。用相似的条件做就可以了。
因为Rt△ABM∽Rt△MCN
所以BM（就是题目给的x）：CN=AB：CM＝4：（4－x）
所以CN＝（4x－x＾2）／4
（接下来梯形面积公式带入就好了）
所以解析式为y＝1／2（－x＾2＋4x＋16）
（求最大面积就是函数的最大值了 这是一元二次函数 开口向下有最大值 楼主现在用相关知识求就好了）
则 ymax＝10 此时x＝2（注：max就是最大值。知道了x的值就可以判断位置了 易知位置是在BC中点）
故：当点M运动到BC中点时四边形ABCN面积最大 为10

第三题：（还是证相似 跟第一题一样 我们选取角角证明 一对直角相等已知 现在关键就是求另一对角了 我们选取证明∠BAM=∠MAN，这个可以排除两个角平分直角等于45°也就是点M不会重合点C，因为题目中说AM要垂直MN。点M也不会重合点B 因为这样Rt△ABM和Rt△AMN就是同一个三角形 那何来相似。所以，要证明∠BAM=∠MAN 也就只剩下三等分直角了，也就是这两个角都等于30°）

因为AM⊥MN，且要证明Rt△ABM∽Rt△AMN
所以点M不会与点B点C重合
所以当∠BAM=∠MAN＝∠NAD＝30°时Rt△ABM∽Rt△AMN
（现在要求x值 就要根据三角形边的长度来确定 ）
因为，在Rt△ABM中 ∠BAM＝30° AB=4 所以BM=4（根号3）/3
故当x=4（根号3）/3时 Rt△ABM∽Rt△AMN

亲，采纳把TvT

Answer 2

因为四边形ABCD为正方形
所以，∠BAM+∠AMB=90°
又，AM⊥MN
所以，∠AMN=90°
所以，∠AMB+∠CMN=90°
所以，∠BAM=∠CMN
而，∠B=∠C=90°
所以，Rt△ABM∽Rt△MCN
（2）
因为△ABM∽△MCN
所以AB/MC=BM/CN
所以4/(4-x)=x/CN
所以CN=(-x^2)/4+x
所以y=1/2*(AB+CN)*BC
=1/2*[4+(-x^2)/4+x]*4
=(-x^2)/2+2x+8
=-1/2(x-2)^2+10
当x=2时，即BC的中点
四边形ABCN面积最大，最大面积=10