相似三角形动点问题、要分情况讨论。。【急】【求高手】
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长
（3）在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，求PQ的长。
相似的动点问题，有分情况讨论，要完整过程……谢谢。。如果有图的话再加50分。。
原图…… 展开
（1）由PQ‖AB可知△PQC与△ABC相似,相似三角形的面积之比等于相似比的平方,故
△ABC的面积/△PQC的面积=(AC/PC)^2,
1+四边形PABQ/△PQC的面积=(AC/PC)^2,
由△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等，则
得(AC/PC)^2=1+四边形PABQ/△PQC的面积=2
(AC/PC)^2=2，AC/CP=√2，CP=AC/√2=2√2，
（2）四边形PABQ的周长=BQ+QP+PA+AB
△PQC的周长=PQ+CQ+CP
由四边形PABQ的周长=△PQC的周长得
BQ+QP+PA+AB= PQ+CQ+CP
BQ+PA+AB= CQ+CP(1)
PA=AC-PC=4-PC,
CQ/BC=CP/AC,CQ=CP×BC/AC=3CP/4,
BQ=BC-CQ=3-3CP/4
上面三式代入(1)故得
(3-3CP/4)+(4-PC)+5=(3CP/4)+CP,
解得CP=24/7
（3）建立直角坐标系,以C为原点,AC与BC分别为横轴,纵轴,设M的坐标为(x,y),则x/4+y/3=1,3x+4y=12,PC=a,CQ=b,P,Q坐标分别为(a,0),Q(0,b),由PQ‖AB得a/4=b/3,b=3a/4,
MQ=√((x-0)^2+(y-3a/4)^2), MP=√((x-a)^2+(y-0)^2),
由MQ=MP得
x^2+(y-3a/4)^2=(x-a)^2+y^2
x^2+y^2-3ay/2+(3a/4)^2=x^2-2ax+a^2+y^2
2x-3y/2=7a/16
4x-3y=7a/8
将该方程与3x+4y=12联立，解得
x=36/25+7a/50,
y=192/100-21a/200
0<x<4, 0<36/25+7a/50<4,a<128/72,即对任意a<128/72，0<x<4，即对任意AC上的P点，PC<128/72,均可在AB上找到M点.使△PQM为等腰三角形，
如果要求△PQM是等腰直角三角形,两直线QM,MP斜率分别是
(y-b)/x=(192/100-21a/200-3a/4)/( 36/25+7a/50)
=(384-171a)/( 288+28a)
y/(x-a)= (192/100-21a/200)/(36/25+7a/50-a)
=(384-21a)/(288-172a)
QM垂直MP,则
(384-171a)(288-172a)=-(384-21a) ( 288+28a)
1201a^2-5000a+9216=0
这是关于a的2次方程，由判别式可知该方程没有解，故在AB上不存在M点使得△PQM为等腰直角三角形。
(1)设CP=x,则QC=3/4x
S△PQC=3/4x²=1/2S△ABC=3
解得X=2倍根号2
（2）仍设CP=x，△PQC的周长=QC+CP+QP
四边形PABQ的周长=PQ+PA+AB+BQ
其中PQ=1/2根号7.列式X+3/4X+1/2根号7=4-X+5+1/2根号7 +3-3/4X 解得x=24/7
(3）不存在点M，若△PQM为等腰直角，则△PQC必为等腰直角（由三角形内角和得角PQC=角CPQ）。事实上△PQC相似△ABC
，故不存在点M。
S△ABC=3*4*1/2=6
那么△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等，他们的面积都为3
所以CP*CQ*1/2=3
CP*CQ=6
又CP:CQ=CA:CB=4:3
可解得 CP=2√2
2
周长相等
所以CP+CQ+PQ=PQ+PA+QB+AB
CP+CQ=PA+QB+5=(4-CP)+(3-CQ)+5
CP+CQ=6
又CP:CQ=CA:CB=4:3
解得 CP=24/7
3
(1)
假设∠MPQ=90
则设PQ=QM=x
在△CPQ中，PQ=x
那么CP=4x/5
在△APM中，PM=x
那么AP=5x/3
∵CP+PA=CA=4
∴4x/5+5x/3=4
x=60/37
（2）
假设∠PQM=90
同理可解得PQ=60/37
（3）假设∠PMQ=90
设PM=QM=x
∠AMP=∠MPQ=∠MQP=∠BMQ=45
过P作PE⊥AB于E,过Q作QF⊥AB于F
在△PME中，PM=x
∴PE=√2x/2
在△APE中，PE=√2x/2
∴AP=5√2x/6
在△PCQ中，PQ=√2x
∴PC=CP+PA=CA=4
所以5√2x/6+4√2x/5=4
解得x=60√2/49
∴PQ=√2x=120/49
