Question

高一函数（请详解）

已知关于x的二次函数f(x)=x²+(2t-1)x+1-2t.
(1)求证：对于任意t∈R，方程f(x)=1必有实数根
（2）若（1/2）<t<(3/4),求证：方程f(x)=0在区间（-1,0）及（0,1/2）上各有一个实数根

Answer 1

1、令f(x)=1
则x²+(2t-1)x-2t=0
△=4t²+4t+1=(2t+1)²≥0
∴对于任意t∈R，方程f(x)=1必有实数根
2、x=-1时，函数值为3-4t＞0
x=0时，函数值为1-2t＜0
x=1/2时，函数值为3/4-t＞0
∴（1/2）<t<(3/4),方程f(x)=0在区间（-1,0）及（0,1/2）上各有一个实数根

Answer 2

（1）
令2t-1=A，
则f(x)=x²+Ax-A
证对于任意t∈R，方程f(x)=1必有实数根
即证对于任意A∈R，方程f(x)=1必有实数根
方程f(x)=1
即x²+Ax-A-1=0
即[ x+(A+1) ]( x-1 )=0
所以，f(x)=1必有实数根。

（2）
(1/2)<t<(3/4)
即 0< (2t-1)< (1/2)
即 0< A < (1/2)

f(x)=0
即x²+Ax -A=0
f(-1)=1-2A>0
f(0)= -A<0
f(1/2)=(1/4)-(A/2)>0
所以方程f(x)=0在区间（-1,0）及（0,1/2）上各有一个实数根