Question

问几道不等式题

1.设x为实数，P=e^x+e^-x,Q=(sinx+cosx)^2,则P，Q之间的大小关系是
A。P》Q B。P《Q C.P>Q D.P<Q

2.设x，y∈R+，且xy-（x+y）=1，则x+y的最小值是________

请告诉我答案和详细过程，谢谢。

Answer 1

1
P=e^x+e^-x>=2
Q=(sinx+cosx)^2=1+sin2x<=2
∴P>=Q

2
x>0,y>0
则x+y>=2(xy)^(1/2)
xy-(x+y)<=xy-2(xy)^(1/2)
则xy-2(xy)^(1/2)>=1
xy-2(xy)^(1/2)-1>=0
解得(xy)^(1/2)<=1-2^(1/2),(xy)^(1/2)>=1+2^(1/2)
又xy>0
xy>=(1+2^(1/2))^2=3+2*2^(1/2)
xy-(x+y)<=(x+y)^2/4-(x+y)
(x+y)^2/4-(x+y)>=1
(x+y)^2-4(x+y)-4>=0
x+y>=2(1+√2 )
最小值就是2(1+√2 )

Answer 2

楼上的有误。第一题，p q 中的 x不能同时取到。第二题 中的也不能同时取到。
1.Q=(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx=1+sin2x<=2

P=e^x+e^-x>=2
但这里的x不能同时满足条件

当x=0时 取最小值 2 而q取不到最大值
因此选 c

2.
xy<=(x+y)^2/2
(x+y)^2/2-(x+y)》1

令t=(x+y) 》0 t^2-2t-2》0
t《(2+√12)/2
最小值1+√3