Question

一道数学题：若a,b，c都是正数，求证，√2(a+b+c) ≤√a2+b2 +√b2+c2 +√c2+a2＜2(a+b+c)

谢谢O(∩_∩)O谢谢
提示一下，本题利用代数方法做很难，我们应用勾股定理，运用数形结合思想，构造图形，如正方形，我指的是特殊的，例如，大正方形里有9个小的正方形。

Answer 1

先证明右面的不等号
因为2ab>0,2bc>0,2ac>0,所以不等号两边分别加a2+b2,b2+c2,a2+c2.
得到（a+b)^2>a2+b2,（c+b)^2>c2+b2,（a+c)^2>a2+c2.
两边开方得：a+b>√a2+b2 ;c+b>√b2+c2 ;a+c>√c2+a2.三个相加得证
再求左面的不等号
已知一个重要的不等式：a2+b2>=0.5*(a+b)^2
将其两边开方得到：根号二分之(a+b) <=√a2+b2
同理得到根号二分之(c+b) <=√c2+b2
根号二分之(a+c) <=√a2+c2
三个相加得证。

表达困难，你在完善一下

Answer 2

对于任意的正数x，y 我们有：2(x^2+y^2)>=(x+y)^2
（开方）
√a2+b2 +√b2+c2 +√c2+a2>=(a+b)/√2 +(b+c)/√2 +(c+a)/√2=√2(a+b+c)

对于右边，我们有：√a2+b2 <a+b （平方即可）
相加即证右边

以上

Answer 3

知道柯西不等式吧？
左半边不等式：由柯西：（a^2+b^2)(1+1)≥(a+b)^2
√a2+b2≥(a+b)/根2
一共三个式子相加即可证明左半边
右半边：显然，√a2+b2<a+b
所以 √a2+b2 +√b2+c2 +√c2+a2<a+b+b+c+c+a=2(a+b+c)