Question

高中数学一题，

已知数列an的前n项和为Sn，数列根号下【(Sn)+1】,是公比为2的等比数列，证明，数列{an}成等比数列的充要条件是a1=3。

Answer 1

先证必要性：因为根号下【(Sn)+1】,是公比为2的等比数列，
所以｛S（n)+1}是公比为4的等比数列。
所以S（n)+1=（S（1)+1）*4^(n-1)=(a(1)+1)*4^(n-1) (1)
那么S（n-1)+1=(a(1)+1)*4^(n-2) (2)
(1)-(2)得到 a(n)=3(a(1)+1)*4^(n-2)
令n=1 得到a(1)=3(a(1)+1)*4^(1-2)
所以 a(1)=3

再证明充分性：因为a(1)=3，又因为根号下【(Sn)+1】,是公比为2的等比数列，
所以｛S（n)+1}是公比为4的等比数列。
所以S（n)+1=（S（1)+1）*4^(n-1)=(3+1)*4^(n-1)=4^n （1）
因此S（n-1)+1 =4^（n-1） (2)
(1)-(2)得到 a(n)=3*4^（n-1）
所以{an}成等比数列