设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞0时，证明不等式：
设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞0时，证明不等式：x1+x＜ln(x+1)＜x；（Ⅲ）设f（x）的最小...
设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞0时，证明不等式：x1+x＜ln(x+1)＜x；（Ⅲ）设f（x）的最小值为g（a），证明不等式：-1a＜g(a)＜0．
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（Ⅰ）解：∵f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0，
∴函数f（x）的定义域为（-1，+∞），且f′(x)＝
，a＞0，
由f′（x）=0，得x=
．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
由上表知，当x∈（-1，
）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-1，
）内单调递减；
当x∈（
，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（
，+∞）内单调递增．
∴函数f（x）的增区间是（
，+∞），减区间是（-1，
）．
（Ⅱ）证明：设?（x）=ln（x+1）-
，x∈[0，+∞），
对?（x）求导，得?′（x）=
?
=
．
当x≥0时，?′（x）≥0，所以?（x）在[0，+∞）内是增函数．
∴?（x）＞?（0）=0，即ln（x+1）-
＞0，
∴
＜ln(x+1)．
同理可证ln（x+1）＜x，
∴
＜ln(x+1)＜x．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，g(a)＝f(
)＝1?(a+1)?ln(
+1)，
将x＝
代入
＜ln(x+1)＜x，
得
＜ln(
+1)＜
，
即1＜(a+1)ln(
∴函数f（x）的定义域为（-1，+∞），且f′(x)＝
| ax?1 |
| x+1 |
由f′（x）=0，得x=
| 1 |
| a |
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
| x | （-1，
|
| （
| ||||||
| f′（x） | - | 0 | + | ||||||
| f（x） | ↓ | 极小值 | ↑ |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
当x∈（
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
∴函数f（x）的增区间是（
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
（Ⅱ）证明：设?（x）=ln（x+1）-
| x |
| 1+x |
对?（x）求导，得?′（x）=
| 1 |
| x+1 |
| 1 |
| (1+x)2 |
| x |
| (1+x)2 |
当x≥0时，?′（x）≥0，所以?（x）在[0，+∞）内是增函数．
∴?（x）＞?（0）=0，即ln（x+1）-
| x |
| 1+x |
∴
| x |
| 1+x |
同理可证ln（x+1）＜x，
∴
| x |
| 1+x |
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，g(a)＝f(
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
将x＝
| 1 |
| a |
| x |
| 1+x |
得
| 1 |
| a+1 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
即1＜(a+1)ln(
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