Question

如图所示，在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=1，BC=2，CC 1 =5，M为棱CC 1 上一点．（1）若 C 1

如图所示，在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=1，BC=2，CC 1 =5，M为棱CC 1 上一点．（1）若 C 1 M= 3 2 ，求异面直线A 1 M和C 1 D 1 所成角的正切值；（2）是否存在这样的点M使得BM⊥平面A 1 B 1 M？若存在，求出C 1 M的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过点M作MN ∥ C 1 D，交D 1 D于N，连接A 1 N， 则∠A 1 MN或其补角就是异面直线A 1 M和C 1 D 1 所成角 在Rt△A 1 NM中，AB=1，A 1 N= 2 2 +( 3 2 ) 2 = 5 2 ∴tan∠A 1 MN= A 1 N MN = 5 2 由此可得，当 C 1 M= 3 2 时，异面直线A 1 M和C 1 D 1 所成角的正切值为 5 2 ； （2）∵A 1 B 1 ⊥平面BB 1 C 1 C，BM?平面BB 1 C 1 C， ∴A 1 B 1 ⊥BM， 因此可得：只要B 1 M⊥BM，就有BM⊥平面A 1 B 1 M． 假设存在M点，使得BM⊥平面A 1 B 1 M，设C 1 M=x 则矩形BB 1 C 1 C中，B 1 M⊥BM，所以∠MB 1 C 1 =∠MBB 1 ∴Rt△B 1 MB ∽ Rt△MB 1 C 1 ，所以 C 1 M B 1 M = B 1 M B 1 B ∴B 1 M 2 =B 1 B?C 1 M，可得4+x 2 =5x，解之得x=1或4 ∴当C 1 M的长为1或4时，存在点M使得BM⊥平面A 1 B 1 M．