Question

如图，在长方体ABCD﹣A 1 B 1 C 1 D 1 中，E，F分别是棱BC，CC 1 上的点，CF=AB=2CE=2，AD=4，AA 1 =8．

如图，在长方体ABCD﹣A 1 B 1 C 1 D 1 中，E，F分别是棱BC，CC 1 上的点，CF=AB=2CE=2，AD=4，AA 1 =8．（1）求直线A 1 E与平面AA 1 DD 1 所成角的正弦值；（2）求证：AF⊥平面A 1 ED；（3）求二面角A 1 ﹣ED﹣F的余弦角．

Answer 1

解：（1）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系， 依题意得D（0，4，0），F（2，4，2），A 1 （0，0，8），E（2，3，0） 在长方体ABCD﹣A 1 B 1 C 1 D 1 中， 是平面A 1 ADD 1 的一个法向量， ∴ =（2，0，0）， =（2，3，﹣8） ∴cos＜ ， ＞= = 故直线A 1 E与平面AA 1 DD 1 所成角的正弦值为 （2）证明：易知 =（2，4，2）， =（﹣2，﹣3，8）， =（﹣2，1，0）， 于是 · =0， · =0， 因此AF⊥A 1 E，AF⊥ED， 又A 1 E∩ED=E，所以AF⊥平面A 1 ED． （3）设平面EFD的法向量 =（x，y，z） 则 ，即 不妨令X=1，可得 =（1，2，﹣1） 由（2）可知， 为平面A 1 ED的一个法向量． 于是cos = = ， 所以二面角A 1 ﹣ED﹣F的余弦值为