如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,且AC⊥BD,∠ADB=∠CAD+∠ABD,∠BAD=3∠CBD.(1)求证
如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,且AC⊥BD,∠ADB=∠CAD+∠ABD,∠BAD=3∠CBD.(1)求证:△ABC为等腰三角形;(2)M是线段B...
如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,且AC⊥BD,∠ADB=∠CAD+∠ABD,∠BAD=3∠CBD.(1)求证:△ABC为等腰三角形;(2)M是线段BD上一点,BM:AB=3:4,点F在BA的延长线上,连接FM,∠BFM的平分线FN交BD于点N,交AD于点G,点H为BF中点,连接MH,当GN=GD时,探究线段CD、FM、MH之间的数量关系,并证明你的结论.
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(1)证明:如图1,作∠BAP=∠DAE,AP交BD于P,
设∠CBD=α,∠CAD=β,
∵∠ADB=∠CAD+∠ABD,∠APE=∠BAP+∠ABD,
∴∠APE=∠ADE,AP=AD.
∵AC⊥BD
∴∠PAE=∠DAE=β,
∴∠PAD=2β,∠BAD=3β.
∵∠BAD=3∠CBD,
∴3β=3α,β=α.
∵AC⊥BD,
∴∠ACB=90°-∠CBE=90°-α=90°-β.
∵∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=90°-β,
∴∠ACB=∠ABC,
∴△ABC为等腰三角形;
(2)2MH=FM+
CD.
证明:如图2,
由(1)知AP=AD,AB=AC,∠BAP=∠CAD=β,
∴△ABP≌△ACD,
∴∠ABE=∠ACD.
∵AC⊥BD,
∴∠GDN=90°-β,
∵GN=GD,
∴∠GND=∠GDN=90°-β,
∴∠NGD=180°-∠GND-∠GDN=2β.
∴∠AGF=∠NGD=2β.
∴∠AFG=∠BAD-∠AGF=3β-2β=β.
∵FN平分∠BFM,
∴∠NFM=∠AFG=β,
∴FM∥AE,
∴∠FMN=90°.
∵H为BF的中点,
∴BF=2MH.
在FB上截取FR=FM,连接RM,
∴∠FRM=∠FMR=90°-β.
∵∠ABC=90°-β,
∴∠FRM=∠ABC,
∴RM∥BC,
∴∠CBD=∠RMB.
∵∠CAD=∠CBD=β,
∴∠RMB=∠CAD.
∵∠RBM=∠ACD,
∴△RMB∽△DAC,
∴
=
=
=
,
∴BR=
CD.
∵BR=FB-FM,
∴FB-FM=BR=
CD,
FB=FM+
CD.
∴2MH=FM+
CD.
设∠CBD=α,∠CAD=β,
∵∠ADB=∠CAD+∠ABD,∠APE=∠BAP+∠ABD,
∴∠APE=∠ADE,AP=AD.
∵AC⊥BD
∴∠PAE=∠DAE=β,
∴∠PAD=2β,∠BAD=3β.
∵∠BAD=3∠CBD,
∴3β=3α,β=α.
∵AC⊥BD,
∴∠ACB=90°-∠CBE=90°-α=90°-β.
∵∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=90°-β,
∴∠ACB=∠ABC,
∴△ABC为等腰三角形;
(2)2MH=FM+
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4 |
证明:如图2,
由(1)知AP=AD,AB=AC,∠BAP=∠CAD=β,
∴△ABP≌△ACD,
∴∠ABE=∠ACD.
∵AC⊥BD,
∴∠GDN=90°-β,
∵GN=GD,
∴∠GND=∠GDN=90°-β,
∴∠NGD=180°-∠GND-∠GDN=2β.
∴∠AGF=∠NGD=2β.
∴∠AFG=∠BAD-∠AGF=3β-2β=β.
∵FN平分∠BFM,
∴∠NFM=∠AFG=β,
∴FM∥AE,
∴∠FMN=90°.
∵H为BF的中点,
∴BF=2MH.
在FB上截取FR=FM,连接RM,
∴∠FRM=∠FMR=90°-β.
∵∠ABC=90°-β,
∴∠FRM=∠ABC,
∴RM∥BC,
∴∠CBD=∠RMB.
∵∠CAD=∠CBD=β,
∴∠RMB=∠CAD.
∵∠RBM=∠ACD,
∴△RMB∽△DAC,
∴
BR |
CD |
BM |
AC |
BM |
AB |
3 |
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∴BR=
3 |
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∵BR=FB-FM,
∴FB-FM=BR=
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FB=FM+
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∴2MH=FM+
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(1)证明:如图1,作∠BAP=∠DAE,AP交BD于P,
设∠CBD=α,∠CAD=β,
∵∠ADB=∠CAD+∠ABD,∠APE=∠BAP+∠ABD,
∴∠APE=∠ADE,AP=AD.
∵AC⊥BD
∴∠PAE=∠DAE=β,
∴∠PAD=2β,∠BAD=3β.
∵∠BAD=3∠CBD,
∴3β=3α,β=α.
∵AC⊥BD,
∴∠ACB=90°-∠CBE=90°-α=90°-β.
∵∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=90°-β,
∴∠ACB=∠ABC,
∴△ABC为等腰三角形;
(2)2MH=FM+
CD.
证明:如图2,
由(1)知AP=AD,AB=AC,∠BAP=∠CAD=β,
∴△ABP≌△ACD,
∴∠ABE=∠ACD.
∵AC⊥BD,
∴∠GDN=90°-β,
∵GN=GD,
∴∠GND=∠GDN=90°-β,
∴∠NGD=180°-∠GND-∠GDN=2β.
∴∠AGF=∠NGD=2β.
∴∠AFG=∠BAD-∠AGF=3β-2β=β.
∵FN平分∠BFM,
∴∠NFM=∠AFG=β,
∴FM∥AE,
∴∠FMN=90°.
∵H为BF的中点,
∴BF=2MH.
在FB上截取FR=FM,连接RM,
∴∠FRM=∠FMR=90°-β.
∵∠ABC=90°-β,
∴∠FRM=∠ABC,
∴RM∥BC,
∴∠CBD=∠RMB.
∵∠CAD=∠CBD=β,
∴∠RMB=∠CAD.
∵∠RBM=∠ACD,
∴△RMB∽△DAC,
∴
=
=
=
,
∴BR=
CD.
∵BR=FB-FM,
∴FB-FM=BR=
CD,
FB=FM+
CD.
∴2MH=FM+
CD.
设∠CBD=α,∠CAD=β,
∵∠ADB=∠CAD+∠ABD,∠APE=∠BAP+∠ABD,
∴∠APE=∠ADE,AP=AD.
∵AC⊥BD
∴∠PAE=∠DAE=β,
∴∠PAD=2β,∠BAD=3β.
∵∠BAD=3∠CBD,
∴3β=3α,β=α.
∵AC⊥BD,
∴∠ACB=90°-∠CBE=90°-α=90°-β.
∵∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=90°-β,
∴∠ACB=∠ABC,
∴△ABC为等腰三角形;
(2)2MH=FM+
3 |
4 |
证明:如图2,
由(1)知AP=AD,AB=AC,∠BAP=∠CAD=β,
∴△ABP≌△ACD,
∴∠ABE=∠ACD.
∵AC⊥BD,
∴∠GDN=90°-β,
∵GN=GD,
∴∠GND=∠GDN=90°-β,
∴∠NGD=180°-∠GND-∠GDN=2β.
∴∠AGF=∠NGD=2β.
∴∠AFG=∠BAD-∠AGF=3β-2β=β.
∵FN平分∠BFM,
∴∠NFM=∠AFG=β,
∴FM∥AE,
∴∠FMN=90°.
∵H为BF的中点,
∴BF=2MH.
在FB上截取FR=FM,连接RM,
∴∠FRM=∠FMR=90°-β.
∵∠ABC=90°-β,
∴∠FRM=∠ABC,
∴RM∥BC,
∴∠CBD=∠RMB.
∵∠CAD=∠CBD=β,
∴∠RMB=∠CAD.
∵∠RBM=∠ACD,
∴△RMB∽△DAC,
∴
BR |
CD |
BM |
AC |
BM |
AB |
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∴BR=
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∵BR=FB-FM,
∴FB-FM=BR=
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FB=FM+
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∴2MH=FM+
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2015-12-15
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(1)证明:如图1,作∠BAP=∠DAE,AP交BD于P,
设∠CBD=α,∠CAD=β,
∵∠ADB=∠CAD+∠ABD,∠APE=∠BAP+∠ABD,
∴∠APE=∠ADE,AP=AD.
∵AC⊥BD
∴∠PAE=∠DAE=β,
∴∠PAD=2β,∠BAD=3β.
∵∠BAD=3∠CBD,
∴3β=3α,β=α.
∵AC⊥BD,
∴∠ACB=90°-∠CBE=90°-α=90°-β.
∵∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=90°-β,
∴∠ACB=∠ABC,
∴△ABC为等腰三角形;
(2)2MH=FM+
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4
CD.
证明:如图2,
由(1)知AP=AD,AB=AC,∠BAP=∠CAD=β,
∴△ABP≌△ACD,
∴∠ABE=∠ACD.
∵AC⊥BD,
∴∠GDN=90°-β,
∵GN=GD,
∴∠GND=∠GDN=90°-β,
∴∠NGD=180°-∠GND-∠GDN=2β.
∴∠AGF=∠NGD=2β.
∴∠AFG=∠BAD-∠AGF=3β-2β=β.
∵FN平分∠BFM,
∴∠NFM=∠AFG=β,
∴FM∥AE,
∴∠FMN=90°.
∵H为BF的中点,
∴BF=2MH.
在FB上截取FR=FM,连接RM,
∴∠FRM=∠FMR=90°-β.
∵∠ABC=90°-β,
∴∠FRM=∠ABC,
∴RM∥BC,
∴∠CBD=∠RMB.
∵∠CAD=∠CBD=β,
∴∠RMB=∠CAD.
∵∠RBM=∠ACD,
∴△RMB∽△DAC,
∴
BR
CD
=
BM
AC
=
BM
AB
=
3
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,
∴BR=
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CD.
∵BR=FB-FM,
∴FB-FM=BR=
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CD,
FB=FM+
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CD.
∴2MH=FM+
3
4
CD.
设∠CBD=α,∠CAD=β,
∵∠ADB=∠CAD+∠ABD,∠APE=∠BAP+∠ABD,
∴∠APE=∠ADE,AP=AD.
∵AC⊥BD
∴∠PAE=∠DAE=β,
∴∠PAD=2β,∠BAD=3β.
∵∠BAD=3∠CBD,
∴3β=3α,β=α.
∵AC⊥BD,
∴∠ACB=90°-∠CBE=90°-α=90°-β.
∵∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=90°-β,
∴∠ACB=∠ABC,
∴△ABC为等腰三角形;
(2)2MH=FM+
3
4
CD.
证明:如图2,
由(1)知AP=AD,AB=AC,∠BAP=∠CAD=β,
∴△ABP≌△ACD,
∴∠ABE=∠ACD.
∵AC⊥BD,
∴∠GDN=90°-β,
∵GN=GD,
∴∠GND=∠GDN=90°-β,
∴∠NGD=180°-∠GND-∠GDN=2β.
∴∠AGF=∠NGD=2β.
∴∠AFG=∠BAD-∠AGF=3β-2β=β.
∵FN平分∠BFM,
∴∠NFM=∠AFG=β,
∴FM∥AE,
∴∠FMN=90°.
∵H为BF的中点,
∴BF=2MH.
在FB上截取FR=FM,连接RM,
∴∠FRM=∠FMR=90°-β.
∵∠ABC=90°-β,
∴∠FRM=∠ABC,
∴RM∥BC,
∴∠CBD=∠RMB.
∵∠CAD=∠CBD=β,
∴∠RMB=∠CAD.
∵∠RBM=∠ACD,
∴△RMB∽△DAC,
∴
BR
CD
=
BM
AC
=
BM
AB
=
3
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,
∴BR=
3
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CD.
∵BR=FB-FM,
∴FB-FM=BR=
3
4
CD,
FB=FM+
3
4
CD.
∴2MH=FM+
3
4
CD.
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(1)证明:如图1,作∠BAP=∠DAE,AP交BD于P,
设∠CBD=α,∠CAD=β,
∵∠ADB=∠CAD+∠ABD,∠APE=∠BAP+∠ABD,
∴∠APE=∠ADE,AP=AD.
∵AC⊥BD
∴∠PAE=∠DAE=β,
∴∠PAD=2β,∠BAD=3β.
∵∠BAD=3∠CBD,
∴3β=3α,β=α.
∵AC⊥BD,
∴∠ACB=90°-∠CBE=90°-α=90°-β.
∵∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=90°-β,
∴∠ACB=∠ABC,
∴△ABC为等腰三角形;
设∠CBD=α,∠CAD=β,
∵∠ADB=∠CAD+∠ABD,∠APE=∠BAP+∠ABD,
∴∠APE=∠ADE,AP=AD.
∵AC⊥BD
∴∠PAE=∠DAE=β,
∴∠PAD=2β,∠BAD=3β.
∵∠BAD=3∠CBD,
∴3β=3α,β=α.
∵AC⊥BD,
∴∠ACB=90°-∠CBE=90°-α=90°-β.
∵∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=90°-β,
∴∠ACB=∠ABC,
∴△ABC为等腰三角形;
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