Question

求解！这道题为什么能用等价无穷小？

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Answer 1

记住lim（A+B）=limA+limB的前提是limA和limB都存在。
那么现在你认为拆开的两个部分，都是∞*0的未定式，所以认为不能这样分。
但是我们知道∞*0的未定式，极限是可能存在，也可能不存在的。
现在根据后面的计算，证明了这两个∞*0的未定式极限都是存在的，那么这样分也就符合lim（A+B）=limA+limB的要求啊
lim（A+B）=limA+limB的要求没说A、B不能是未定式，只是说极限必须存在。所以极限存在的未定式。也是可以用lim（A+B）=limA+limB的。

追问

谢谢了，这题解的时候为什么可以用等价无穷小？

不是只能乘除用吗 这加减怎么也能用

追答

分开了以后，每个极限里面就只有乘除，没有加减了。所以在每个极限里面就可以使用了。
简单的讲，就是这样分开后，对每个分开的极限式子用等价无穷小（或其他的例如约分的方式）去求极限。但是如果求出来发现拆分出来的极限中有一个是无穷大或者是不存在，那么这种拆分就不正确，等价无穷小的替换也就不对。
如果拆分后，对每个分开的极限式子用等价无穷小（或其他的例如约分的方式）去求极限，求出来两个都是有限数值，那么这样的拆分就有效，这种拆分后用等价无穷小的替换就正确。

追问

谢谢了，我还有最后一个疑问 。等价无穷小的使用条件必须是 0/0才可以使用吗？0/无穷 可以使用吗

追答

你的做法当然不对，分拆极限的做法不对，因为分数的分母是不能为0，极限里面可以有所谓0/0型，是因为这里的0，代表无穷小，无穷小在趋近过程中，并不等于0，所以可以为分母。你这样一分开，就是以lim（x→0）tanx为分母了，而这个就是实实在在的0，因为这是极限的结果而不是极限的过程，这个结果就是0，以0为分母，当然不对，这一步已经不对了，就不要再说什么等价无穷小的替换了。
你看看上面的替换替换出来的两个部分，分母都是在极限里面，没有放到极限外面去。