Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，试说明f(x)必有两个零点。
（2）若对x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，f(x₁)≠f(x₂)，方程f(x)=1/2[f(x₁)+f(x₂)]有两个不相等的实数根，证明必有一个实根属于（x₁，x₂）

Answer 1

f(x)=ax²+bx+c,
(1)
f(1)=a+b+c=0,
又a>b>c,
若a≤0,有:
a+b+c<a+a+a≤0与a+b+c=0矛盾,
因此a>0,

同理若c≥0,有:
a+b+c>c+c+c≥0与a+b+c=0矛盾,
因此c<0,

二次函数f(x)=ax²+bx+c中,
由于a>0,c<0,因此△=b²-4ac>0,
方程ax²+bx+c=0有两根,
即函数有两个零点..

(2)
f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)],
设f(x1)=y1,f(x2)=y2,
有:
y1=ax1²+bx1+c,y2=ax2²+bx2+c,
f(x)=ax²+bx+c=1/2(y1+y2)有两不等实根,
令p(x)=ax²+bx+c-1/2(y1+y2)=0,
方程p(x)=0中,
p(x1)*p(x2)=[ax1²+bx1+c-1/2(y1+y2)][ax2²+bx2+c-1/2(y1+y2)]
=[y1-1/2(y1+y2)][y2-1/2(y1+y2)]
=1/2(y1-y2)1/2(y2-y1)
=-1/4(y1-y2)^2,
由于f(x1)≠f(x2),
y1≠y2,
有-1/4(y1-y2)^2<0
因此p(x1)*p(x2)<0,
即x1和x2之间必有一根..